∞⁰ = ∞, 1 или неопределен. Кое е това?

Преди няколко дни написах статия за резюмето на Рамануджан, която за съкращаване на дълга история е математическа поредица, която изглежда така:

Ако искате да прочетете статията, щракнете тук. Доказвам този факт в статията заедно с две други също толкова интересни уравнения. Това всъщност се натъкнах на идеята за тази статия. След публикуването на Сумата на Рамануджан получих коментар за използването на комутативността на безкрайно изброим набор. Комутативността е идеята, че ако имате 1 + 2 + 3, пренаредете условията не променя резултата. Така че 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, можете, но условията във всеки ред и отговорът ще бъде винаги 6. Използвам това свойство, за да докажа горното уравнение в другата си статия, но forceOfHabit предизвика интересно точка, това важи ли за безкраен набор от числа?

„Интуитивно очевидно е, че има два пъти повече положителни числа от дори положителните цели числа. Но ако вземем последователността на положителните цели числа и ги умножим по 2, ще получим последователността от дори положителни цели числа. Но умножаването на всеки член от последователността по 2 не променя броя на членовете. Така че има точно същия брой положителни цели числа, дори и положителните цели числа. И така, кое е това? Два пъти повече или едно и също число? “ - forceOfHabit

И честно казано, не знаех отговора на това. Но това бе връх на моя интерес, затова реших да го изследвам малко повече. Спуснах се в червейна дупка на Уикипедия през различни клонове на математиката, като научих някои интересни факти по пътя и се озовах на кардиналност. Cardinality се занимава с набори и е как бихте описали броя на елементите в даден набор. Например, комплектът {1,2,3} има 3 елемента или кардиналност от 3.

Използвайки кардиналност, можем да започнем да се захващаме по въпросите по-горе. Проучих малко по-нататък и открих интересна част от кардиналност, наречена Кардинал Аритметика, които са аритметични операции, които могат да се извършват на кардинални числа, които обобщават обикновените операции за естествените числа. Казано казано, те представляват специален набор от операции, които работят специално за кардинални числа, всяка със собствена дефиниция. Например, ако имате два множества A и B с кардиналности 3 и 4 съответно, тогава ние обозначаваме това като | A | = 3 и | B | = 4. Тогава | A | + | B | = | A ∪ B |. Разбира се, това е същото като просто добавяне на числови стойности на | A | и | B |, фактът, че е дефиниран по този начин, показва как съществуват аритметични операции, които могат да бъдат създадени за конкретни набори (при условие че операцията отговаря на определени критерии).

Използвайки кардинална аритметика, е доказано не само, че броят точки в реална числова линия е равен на броя точки във всеки сегмент от тази линия. Звучи много контраинтуитивно, но след това отново, такъв е въпросът по-горе, поради което обичам да мисля, че са подобни. Очевидно, това по никакъв начин не е формално или дори валидно доказателство, но бих казал, че ако ги разглеждате в същия смисъл, тогава отговорът на въпроса за forceOfHabit е вариант b; еднакъв брой цели числа.

Но от друга страна, може да греша напълно и това е недоумението на безкрайността. Има толкова много, че не се знае за него, защото това е просто концепция. Няма как да се измери безкрайността, тъй като по дефиниция тя е неизмерима и това само по себе си е трудно понятие да увиете главата си. Мисля, че професорът ми по математика на първата година обобщи безкрайността доста добре: „Мразя безкрайността. Това не е число, но ние се отнасяме към него като към едно, но не бива. Това е концепция, а не математическа стойност, така че ако някой от вас го използва като такъв, можете също да изпуснете курса! “

Сега за любимия ми номер в целия свят. Питате някого кое е любимото им число (след като изчерпате разговорите за времето, разбира се) и вероятно ще кажат нещо, свързано с рожден ден или с късметлия номер, в който вярват. Но попитайте и аз ще ви кажа 0. Това не е щастлив номер, нито рожден ден или годишнина, но далеч не е най-интересно за мен.

За начало тя има стойност, но няма стойност. Ако го добавите към друго число, то остава същото. Извадете го, остава същото. Но когато го умножите, получавате 0, без значение какво го умножавате.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

И когато го разделите, получавате 0 независимо от знаменателя, който го използва (лента 1 номер, следете за това). 0/1234 все още е нула

Но когато се гмуркате с нула, получавате някои наистина откачени неща. Говоря избягването на куршуми в нивото на матрицата лудо. Всеки, който е взел клас на алгебра, знае, че не можем да разделим на нула, защото е неопределен. Ние го класифицираме като неопределен, защото ако се опитвате да разделите 6 на нула, е аналогично на задаването на въпроса „Кое число пъти 0 е равно на шест?“ Знаем, че не съществува число, което да удовлетвори това, така че делението по нула не следва нормалните правила на деленето. Следователно, ние го пренебрегваме. Но ако забравим това правило за секунда, разделението по нула може да се превърне в много кокетно средство за „доказване“ на напълно нелепи неща. Например:

Нека a = b. Тогава
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Магическа стъпка се случва тук
2 = 1

Ето, аз просто доказах, че 2 = 1 и разбих математиката! Причината това работи е заради магическата стъпка, разделяща и двете страни с a - ab, но ако погледнете оригиналното изявление, a = b, значи a² = ab, с други думи a² - ab = 0. Това е разделение на нула, което е неопределено по тази точна причина. Освен това математиците го избягват като чумата.

За щастие това е всъщност третият вариант. Бих могъл да разбера как, когато е под формата на лимит, е неопределена форма, но мисля, че добре познат приятел от Apple го описва най-добре:

„Представете си, че имате 0 бисквитки и ги разделяте равномерно между 0 приятели. Колко бисквитки получава всеки човек? Вижте, няма смисъл. А Cookie Monster е тъжно, че няма бисквитки. И ти е тъжно, че нямаш приятели. " - Siri (наистина, опитайте да попитате Siri „какво е 0, разделено на 0?“)

По-сложен въпрос, включващ нула, какво е 0⁰? Ами по дефиниция, ако имате a към силата на b, резултатът ще бъде умножен по себе си b пъти. Значи трябва да е нула нали? Защото всяко число, умножено по нула, е нула. Но също така знаем, че a⁰ = 1 (за всички a ≠ 0), така че може би трябва да е 1? Или трябва да се дефинира като разделяне на 0? Това дълго се обсъжда в математиката и има аргументи и за двете страни за това какъв трябва да бъде истинският отговор. Тук има интересен уебсайт, който дава аргументи и за двете страни, но основните от тях са следните: На 0⁰ трябва да е неопределена страна, имаме:

  1. Знаем a⁰ = 1 (за всички a ≠ 0), но a⁰ = 1 (за всички a> 0). Това противоречие означава, че 0⁰ трябва да бъде неопределено

От страна 0⁰ = 1 имаме:

  1. За да може биномиалната теорема да се задържи за x = 0, се нуждаем от 0⁰ = 1
  2. 0⁰ представлява празния продукт (броят набори от 0 елемента, които могат да бъдат избрани от набор от 0 елемента), който по дефиниция е 1 (това също е същата причина, поради която всичко друго, повдигнато до силата на 0, е 1).

И какъв е отговорът? Ами все още нямаме конкретен отговор. Повечето хора биха се съгласили, че това е неопределено (тъй като x ^ y като функция на две променливи не е непрекъснат в началото). Но и двете страни имат валидни аргументи и докато някой не може да излезе с конкретно доказателство, което твърди едно или друго, наистина е невъзможно да се твърди дали едната е вярна.

Сега може би се чудите какво ще стане, ако комбинирате двете. Какво е ∞ x 0? Какво ще кажете за ∞⁰? Ами проблемът се връща към безкрайността, тъй като това е просто концепция. Няма начин да го измериш, не можеш да имаш безкраен брой дъвкави мечки или безкрайно количество сладолед (макар да съм сигурен, че всички бихме искали).

През повечето време отговорът е неопределен. Всичко това са примери за въпроси, които нямат отговор, защото не можем да дадем смислена стойност на понятие като безкрайност. Разбира се, има странно изключение, например 0 ^ ∞, което има вид на стойност 0. Ако вземете границата от 0 ^ n, тъй като n има тенденция към безкрайност, тя е нула. Но това са редки случаи и дори тогава 0 ^ still технически все още не е равно на 0, той просто се приближава много много.

Така че виждате, безкрайността е много интересно нещо, защото е толкова осезаемо и едновременно абстрактно. Виждате го през цялото време в математическите учебници и уравнения, но все още нямаме конкретна дефиниция или стойност за това, което е.

Нулата е просто страхотна, защото тя си прави нещо. Понякога обича да играе по правилата, друг път прави нещо, а понякога се заключва в стая и отказва да сътрудничи с никого.

И двамата имат свои собствени изкупителни качества, които са много полезни в областта на математиката. Те също имат свои странности, които могат да бъдат полезни, а понякога и болка в дупето при другите. Но макар това да е само един от житейските факти, това е недоумението на безкрайността и нулата.