10 неудобни момента в историята на математиката

Всички сме преживели своите неудобни моменти. Случва се нещо неочаквано, има някакво социално напрежение и лично безпокойство и наистина бихте искали да го преодолеете или да забравите, че някога се е случвало. Но какво ще стане, ако сте строг математик и просто сте опровергали света си?

Математиката винаги е била за стремежа да се разбере света чрез логиката и да се изразява на строго определен, математически език. Наистина е показателно, възпитателно и забавно да наблюдавате математиката, когато спря (за момент) има смисъл.

1. Откриването на ирационални числа

Атинската школа, изобразяваща между почти всеки възможен древногръцки философ Питагор в левия ъгъл

Тъй като произходът на математическата строгост се крие в Древна Гърция, математическата мисъл започва близо до религиозните вярвания, поради което на числата се приписват божествени характеристики.

The School of Pythagoras, окултен екип от ранни математици, който изтласква математическите знания напред, както всички култове, се основава на някои фундаменталистични убеждения. Учудени от приложимостта на съотношенията към всеки практически проблем, те вярвали, че съотношенията (да, прости разделени числа) са божествени, тъй като могат да обяснят всичко, което се случва в света.

Съответно всичко, което се случва в света, трябва да може да се изрази като съотношение, нали?

Сега си представете тяхната изненада, когато откриха числовия корен с квадрат 2, докато прилагат новосъздадената Питагорова теорема. Това ирационално число (ирационално означава, че не може да бъде изразено като съотношение на две числа) опроверга световния ред, изразено чрез божественост на съотношенията и постави под въпрос цялата им философия.

Ужасени от последствията от това революционно откритие, те решиха да не разказват на никого за това. Говори се също, че те дори са удавили човека, който е направил откритието, Хипас. Тихо научно, не мислите ли?

2. Безкрайност

Откриването на ирационални числа, тъй като вече беше лошо, изведе гърците пред по-ужасяващо откритие: безкрайност. Тъй като нерационалните числа се характеризират с това, че имат безкраен брой десетични цифри, гърците трябваше да изяснят как може да се създаде непрекъсната поредица от числа. Понятието безкрайност е трудно да се разбере днес, камо ли епоха, когато религията е била свързана с науката и математическата вяра не бива да предизвиква нашето разбиране за Бога. И така, какво направиха гърците? Философи като Аристотел и Платон отхвърлят идеята за абсолютна безкрайност и математиците измислят изобретателни начини да заобиколят нуждата от безкрайност в геометрията, като Евдокс от Книдус, който разработи метода на изтощение, за да изчисли площта на фигурите. Едва в края на 17 век Нютон и Лайбниц насърчават вземането под внимание на безкрайността чрез използването на безкрайни животни и Джон Уолис въвежда добре познатия символ на безкрайността през 1655 година.

3. Парадокси на Зенон

Гърците със сигурност стигнаха до крайности, когато стана дума за философски разсъждения.

След като предшественикът му Хераклит твърди, че всичко на света непрекъснато се променя, Парменид твърди, че нищо не се променя. В резултат на това движението е обикновена илюзия и затова, използвайки математиката, езика на истината според гърците, да се опише това, би трябвало да е невъзможно.

Зенон, един от учениците на Парменид, измисли серия от парадокси, които целят да докажат ирационалността на движението. Най-известният от тях - Ахил и неговата костенурка, върви така: Ахил се надпреварва срещу костенурка, която е значително по-бавна и получава предимството да започне състезанието на 100 метра пред себе си.

Ако предположим, за разклащането на простотата, че скоростите на двамата състезатели са постоянни, а Ахил е 10 пъти по-бърз от костенурката, тогава можем да кажем, че когато Ахил достигне началната точка на костенурката, това ще пробяга 10 метра. И така, Ахил ще се опита да навакса и до достигането на тази следваща точка костенурката ще се премести допълнително с един метър.

Този проблем по математика в гимназията, тъй като е толкова прост и ясен, ни води, до следния парадоксален извод: Ахил никога няма да стигне до костенурката, независимо колко по-бърз е той. Поздравления Зеноне, вие направихте звучене на движение нелогично.

Смятало се, че парадоксите на Зенон съществуват в царството на метафизиката и проблемните философи и математици от векове, но днес те могат да бъдат обяснени с смятане, математически инструмент, който гърците не са притежавали. Нека тогава да преминем.

4. лента Möbius

Направете си сам лента Möbius

Смешната изглеждаща лента Möbius, която също беше независимо открита през 1858 г. от нещастния списък, чието име остави историята на математиката недокосната, е повърхност със само една страна и само една граница, често използвана за озадачаване на млади ученици по математика.

Можете лесно да го създадете, като вземете лента хартия, усучете я и след това свържете краищата на лентата.

Като първи пример за повърхност без ориентация, това не разклати основите на математиката толкова, колкото другите открития от този списък, но въпреки това предостави много практически приложения, като устойчив колан и вдъхнови математиците да измислят неориентиращи се повърхности, като бутилката Klein. (Името на тази повърхност вероятно идва от двойно съвпадение: Klein, нейният концептор, първоначално го нарече Fläche, което означава повърхност на немски език и звучи подобно на Flasche, което означава бутилка. Фактът, че също изглеждаше като бутилка, изглежда има запечатано преименуването).

5. Невъзможност за изчисляване на реални числа на Кантор

Справяйки се с безкрайността, която вече е драг, Cantor доказа през 1874 г., че всъщност има различни видове безкрайност. По-специално, доказвайки безчетността на реалните числа, Кантор доказа, че този набор е по-голям от вече безкрайния набор от естествени числа.

През 1891 г. той предоставя и диагоналния аргумент, едно доказателство, толкова елегантно, че по-късно е приет като инструмент за доказване чрез използването на парадокс. Забележката му породи теорията за кардиналните числа, както и парадокси, занимаващи се с въпроса: с колко безкрайности можете да се справите?

6. Парадокс на Ръсел

Бертран Ръсел беше математик, философ, логик, математик, историк, писател, социален критик, политически активист и според мен личност, на която си струва да се изучава и вдъхновява.

През 1901 г. Ръсел откри слабо място в досега утвърдената теория на множествата на Кантор, което го доведе до противоречие, което математическият свят не можеше да подмине. Според тази теория, всяка колекция от неща може да бъде набор.

Противоречивият пример на Ръсел, наричан още парадокс на Бръснар, е следният: представете си град, който има специално правило; всеки мъж, който не е обръснат от себе си, трябва да бъде обръснат от бръснаря на града. Неудобният въпрос, на който можете да се опитате да си отговорите, е: кой бръсне бръснаря?

Това откритие го накара да постави под въпрос само основите на предишната теория на множествата и да създаде нова, която да бъде по-сложна от по-късно предложената теория на множествата на Цермер-Френкел, не успя да навакса.

7. Теореми на Гьодел за непълнота

Курт Гьодел, логикът, математик и философ, който разтърси основите на математиката и логиката през 19 век.

Ако предишните събития изглеждаха създали леко неудобни моменти, изчакайте следващата неудобна костенурка (и това е по-лошо от това на Ахил).

Говорим за 20 век. Хората не просто искаха да знаят. Те искаха да знаят дали е възможно да знаят и да го докажат. За нещастие за тях и човешката нужда от разбиране на Вселената, Гьодел публикува през 1931 г. две теореми, известни като теореми за непълнота.

Обясняването на техническите характеристики на тях е толкова трудно, колкото да се стигне до заключенията им, тъй като това, което Гьодел доказа, е, че като се има предвид една последователна и пълна система, като например аритметичният език, има твърдения, които са истина и не могат да бъдат доказани. Той илюстрира истинността на своята теорема с това просто твърдение, вдъхновено от парадокса на лъжеца: „Това твърдение не може да бъде доказано“. Ако това е вярно, тогава това твърдение е вярно и не може да бъде доказано. Ако това е невярно, тогава това твърдение може да бъде доказано, което противоречи на първоначалния аргумент, че не може да бъде доказано.

Това бяха много лоши новини за математиката, лишавайки ги от първоначалния си отблясък да обясняват абсолютната истина. Това също беше ужасно завръщане към търсенето на Хилберт за знания, изразено в изявлението му „Трябва да знаем, ще знаем“.

8. Теорема за неопределимост на Тарски

Изглежда, че Тарски е бил вдъхновен от отчаянието, създадено от Гьодел. През 1936 г. той представи доказателство за проблема с неопределяемостта.

Въпреки че направените от Тарски наблюдения също са включени в работата на Гьодел, се твърди, че творчеството на Тарски има по-дълбоко философско въздействие. Тарски успя да стигне до общото заключение, че езикът не може сам да определи истината. Въпреки че това е важно ограничение, той предполага, че използването на по-мощен метаезик е достатъчно за дефиниране на истината в по-простия език.

Сега обикновен човек може да си помисли, че това решава проблема, но за математик, който търси „един език, който да управлява всички тях“, това не е утешаващо.

9. Проблемът със спирането

Алън Тюринг се опита да се справи с проблема с решението, който с прости думи се справи с намирането на алгоритъм, който може да отговори дали дадено твърдение е вярно или не. За да се справи с този концептуално прост, но трудно решим проблем, той го префразира до проблема със спиране: има ли машина, която може да ви каже дали дадена програма ще спре за даден проблем?

Спирането означава, че няма да зацикли завинаги. Но как да докажете невъзможността на машина, за която знаете толкова малко? Именно тук идват парадокси.

Алън Тюринг започна с предположението за съществуването на машина, която даде програма за въвеждане и проблемът отговаря на въпроса дали ще спре или не. След това той допълни тази машина, като завърже изхода си обратно към себе си, ако отговорът е „да“ и спира, ако отговорът е „не“.

И така, дали усилената машина ще спре на проблема със спирането? Отговорът на Алън е: ако да, тогава не, ако не, тогава да. Звучи като лоша новина за логика.

10. Теоремата за безплатен обяд

Преходът към 21-ви век означаваше трансфер от чиста, почти философска математика към приложни области, като статистика и оптимизация.

Ако смятате, че сте любители на оптимизацията, не мислите ли, че това ще ви направи перфекционист? И не би ли перфекционистът да иска да намери оптималния начин да оптимизира нещата?

Изглежда, че Дейвид Уолпърт и Уилям Макиди усетиха тази нужда и излязоха с отговор, който, разбира се, изобщо не беше обнадеждаващ (иначе нямаше да бъде в нашия списък). Според тяхната теорема за безплатен обяд за оптимизация, публикувана през 1997 г., „всеки два алгоритъма за оптимизация са еквивалентни, когато ефективността им е осреднена при всички възможни проблеми“.

Това може да бъде разбиване на сърцето, това не означава, че оптимизацията е безполезна. Просто никога няма да намерим обикновено оптимален начин да го направим.

Тези моменти накараха света на математиката да се почувства неудобно, което е лек термин за чувствата на отчаяние и хаос, които учените са склонни да изпитват, когато Вселената престане да има смисъл. Но шокът е начинът да се движи науката напред.

Създадоха се математически полета, получихме машината на Тюринг, фантастично изглеждащи повърхности и най-важното - способността да преразгледаме възприятията си и съответно да адаптираме инструментите си.

Тези моменти на въпроси ни помогнаха да се развием интелектуално.

С изключение на теоремите за непълноти. Те бяха просто опустошителни.