QC - Контролирайте квантовите изчисления с единни оператори, смущения и заплитания

Снимка от Сагар Дани

Страхотен. Току-що завършихме част 2 на Qubit (Quantum bit - основният градивен елемент за квантовите изчисления). И така, как да го контролираме? За разлика от класическите изчисления, ние не прилагаме логически операции или обща аритметика върху кубитите. В квантовите изчисления няма „докато оператор“ или „изявление за разклоняване“. Вместо това ние разработваме единни оператори за манипулиране на кубитите с принципа на намеса в квантовата механика. Звучи фантастично, но всъщност много ясно. Ще разгледаме концепцията за единните оператори. Като странична бележка ще разгледаме връзката му с уравнението на Шрьодингер, така че не проектираме концепция срещу природата. Най-накрая се оглеждаме в заплитането, мистично квантово явление.

Квантови порти

В класическите компютри ние прилагаме основни логически оператори (НЕ, NAND, XOR и ИЛИ) на битове, за да изградим сложни операции. Например, по-долу е единична добавка с пренос.

Квантовите компютри имат напълно различни основни оператори, наречени квантови порти. Не рекомпилираме съществуваща програма C ++, която да работи на квантов компютър. И двамата имат различни оператори и квантовите изчисления изискват различни алгоритми, за да се възползват от тях. При квантовите изчисления става въпрос за манипулиране на кубити, заплитане и измерване. Да се ​​върнем към сферата на Bloch. В концептуално отношение квантовите изчислителни операции манипулират Φ и θ на суперпозицията, за да се движат точки по повърхността на единичната сфера.

Математически казано, суперпозицията се манипулира с линеен оператор U под формата на матрица.

За един кубит операторът е просто 2 × 2 матрица.

Уравнение на Шрьодингер (незадължително)

Природата изглежда наивно проста! Математиката е просто линейна алгебра, която научаваме в гимназията. Между измерванията състоянията се манипулират от линейни оператори, използващи матрично умножение. Когато се измерва, суперпозицията рухва. По ирония на съдбата линейността е голямо разочарование за феновете на научната фантастика. Това е общо свойство на квантовата динамика. В противен случай пътуването във времето или пътуването по-бързо от светлината е възможно. Ако започнем с този линеен оператор (единен оператор, за да бъдем точни), можем да извлечем уравнението на Шрьодингер, крайъгълен камък на квантовата механика при описване на това как състоянията се развиват в квантовата механика. От противоположна гледна точка уравнението на Шрьодингер заключава линейността на природата.

източник

Тук можем да пренапишем уравнението на Schrodinger като

където Н е ермит. Той показва как държавите се развиват линейно в природата.

Уравнението е линейно, т.е. ако и ψ1 и ψ2 са валидни решения за уравнението на Schrodinger,

нейната линейна комбинация е общото решение на уравнението.

Ако | 0⟩ и | 1⟩ са възможни състояния на система, нейната линейна комбинация ще бъде нейното общо състояние - това е принципът на суперпозицията в квантовите изчисления.

единен

Нашият физически свят не позволява всички възможни линейни оператори. Операторът трябва да е единен и да отговаря на следното изискване.

където U † е транспонираният, сложен конюгат на U. Например:

Математически единният оператор запазва нормите. Това е прекрасно свойство да поддържа общата вероятност равна на една след преобразуването на състоянието и да поддържа суперпозицията на повърхността на единичната сфера.

Ако погледнем по-долу решението за уравнението на Шрьодингер, природата се подчинява на същото унитарно правило. Н е ермиец (транспонираният сложен конюгат на ермитанин се равнява на себе си). Умножаването на оператора с неговия транспониран комплексен конюгат е равно на матрицата за идентичност.

Следва пример на Н, където има равномерно магнитно поле E₀ в z-посока.

Прилагането на единната операция към | ψ⟩ води до въртене в z-оста.

Но какво е истинското значение на единното в реалния свят? Това означава, че операциите са обратими. За всяка възможна операция има още една, която може да отмени действието. Точно като гледате филм, можете да го възпроизвеждате напред и природата позволява на колегата си U † да възпроизвежда видеото назад. Всъщност може да не забележите дали възпроизвеждате видеото напред или назад. Почти всички физически закони са обратими във времето. Малкото изключения включват измерването в квантовата динамика и вторият закон на термодинамиката. При проектирането на квантов алгоритъм това е много важно. Изключителната операция ИЛИ (XOR) в класически компютър не е обратима. Информацията се губи. Като имаме резултат от 1, не можем да различим дали оригиналният вход е (0, 1) или (1, 0).

При квантовите изчисления ние наричаме оператори като квантови порти. Когато проектираме квантова порта, ние се уверяваме, че тя е единна, т.е. ще има друга квантова порта, която може да върне състоянието обратно към първоначалното си. Това е важно, тъй като

ако операторът е единен, той може да бъде реализиран в квантов компютър.

След като единството е доказано, инженерите не трябва да имат проблеми с прилагането му, поне теоретично. Например, IBM Q компютрите, съставени от свръхпроводящи вериги, използват микровълнови импулси с различна честота и продължителност за контрол на кубитите по повърхността на Bloch сферата.

За да постигнем унитарност, понякога извеждаме част от суровината, за да изпълним това изискване, като тази по-долу, дори тя изглежда излишна.

Нека да видим един от най-често срещаните квантови порта, портата на Адамар, която линейният оператор е определен като следната матрица.

или в нотацията Dirac

Когато приложим оператора към състояние на въртене или спин надолу, ние променяме суперпозициите на:

Ако се измерва, и двамата имат еднакъв шанс да се въртят нагоре или да се въртят надолу. Ако приложим отново портата, тя се връща към първоначалното състояние.

източник

т.е. транспонираният конюгат на Хадамар е самата Адамарова порта.

Когато приложим UU †, той се възстановява към първоначалния вход.

Следователно портата Хадамар е единна.

Квантовите изчисления се основават на смущения и заплитания. Въпреки че можем да разберем квантовите изчисления математически, без да разбираме тези явления, нека да го демонстрираме бързо.

смущения

Вълните се намесват взаимно конструктивно или разрушително. Например, изходът може да бъде увеличен или изравнен в зависимост от относителната фаза на входните вълни.

Каква е ролята на намесата в квантовите изчисления? Нека да направим някои експерименти.

Интерферометър Mach Zehnder (източник)

В първия експеримент подготвяме всички входящи фотони да имат състояние на поляризация | 0⟩. Този поток от поляризирани фотони се разделя равномерно от положението на разделителя на лъча B при 45 °, т.е. той ще бъде разделен на лъча на две ортогонално поляризирани светлини и ще излезе в отделни пътища. След това използваме огледала, за да отразяваме фотоните на два отделни детектора и измерваме интензитета. От гледна точка на класическата механика, фотоните се разделят на два отделни пътя и удрят равномерно детекторите.

Във втория експеримент по-горе поставихме друг разделител на лъча пред детекторите. По интуиция разделителите на лъчите работят независимо един от друг и разделят светлинен поток на две половини. И двата детектора трябва да открият половината от светлинните лъчи. Вероятността фотон да достигне до детектора D₀, използвайки 1-път в червено, е:

Общият шанс един фотон да достигне D₀ е 1/2 от 1 или 0 път. Така и двата детектора откриват половината от фотоните.

Но това не съвпада с експерименталния резултат! Само D₀ открива светлина. Нека моделираме прехода на състоянието за разделител на греда с порта на Адамар. Така че за първия експеримент е състоянието на фотоните след сплитера

Когато се измерва, половината от тях ще бъде | 0⟩, а половината от тях ще бъде | 1⟩. Светлинните лъчи са разделени равномерно на два различни пътя. Така нашата порта Адамард ще съвпадне с класическото изчисление. Но нека да видим какво се е случило във втория експеримент. Както беше показано преди, ако подготвим всички входни фотони да бъдат | 0⟩ и ги прехвърлим в две порти на Адамар, всички фотони ще бъдат | 0⟩ отново. Така че когато се измерва, само D₀ ще разпознае светлинния лъч. Нито един няма да достигне D₁, докато не извършим никакво измерване пред двата детектора. Експериментите потвърждават, че квантовото изчисление е правилно, а не класическото изчисление. Нека да видим как намесата играе роля тук във втората порта на Хадамар.

Както е показано по-долу, компоненти на една и съща изчислителна основа конструктивно или разрушително се намесват взаимно, за да получат правилния експериментален резултат.

Можем да подготвим входния фотонен лъч да бъде | 1⟩ и да повторим изчислението отново. Състоянието след първия сплитер е различно от първоначалното с фаза π. Така че, ако измерваме сега, и двата експеримента ще направят еднакви измервания.

Въпреки това, когато отново приложите портата на Адамар, една ще произведе | 0⟩, а една ще произведе | 1⟩. Интерференцията създава сложни възможности.

Позволете ми да направя още един забавен експеримент, който има много голямо значение за киберсигурността.

Ако поставим друг детектор Dx след първия сплитер, експериментът показва, че и двата детектора ще засекат половината от фотоните. Това съвпада ли с изчислението в квантовата механика? В уравнението по-долу, когато добавим измерване след първия сплитер, принуждаваме срив в суперпозицията. Крайният резултат ще бъде различен от един без допълнителния детектор и ще съвпадне с експерименталния резултат.

Природата ни казва, че ако знаете какъв път поема фотонът, и двата детектора ще открият половината от фотоните. Всъщност можем да постигнем това само с един детектор само в една от пътеките. Ако не се направи измерване преди двата детектора, всички фотони се озовават в детектор D₀, ако фотонът е готов да бъде | 0⟩. Отново интуицията ни води до грешен извод, докато квантовите уравнения остават надеждни.

Това явление има едно критично значение. Допълнителното измерване унищожава оригиналната намеса в нашия пример. Състоянието на системата се променя след измерване. Това е една от ключовите мотивации зад квантовата криптография. Можете да проектирате алгоритъм, така че ако хакер пресече (измери) съобщението между вас и подателя, можете да откриете такова проникване, независимо колко нежно може да бъде измерването. Тъй като моделът на измерването ще бъде различен, ако бъде прихванат. Теоремата за не-клониране в квантовата механика твърди, че не може точно да се дублира квантово състояние. Така хакерът не може да дублира и да изпрати и първоначалното съобщение.

Отвъд квантовата симулация

Ако сте физик, можете да се възползвате от интерференционното поведение в квантовите порти, за да симулирате същата намеса в атомните светове. Класическите методи работят с теория на вероятностите със стойности, по-големи или равни на нула. Той предполага независимост, която не е вярна в експериментите.

Квантовият механизъм твърди, че този модел е грешен и въвежда модел със сложни и отрицателни числа. Вместо да използва теорията на вероятностите, тя използва намеса, за да моделира проблема.

И така, какво добро носи за нефизика? Смущенията могат да бъдат третирани като същия механизъм като единния оператор. Може лесно да се реализира в квантов компютър. Математически единният оператор е матрица. С увеличаването на броя на кубитите получаваме експоненциален растеж на коефициентите, с които можем да играем. Този единен оператор (намеса в окото на физика) ни позволява да манипулираме всички тези коефициенти в една единствена операция, която отваря вратата за мащабни манипулации с данни.

заплитане

Като цяло учените смятат, че без заплитане квантовите алгоритми не могат да покажат надмощие над класическите алгоритми. За съжаление, ние не разбираме добре причините и затова не знаем как да адаптираме алгоритъм, за да се възползваме от пълния му потенциал. Ето защо заплитането често се споменава при въвеждането на квантови изчисления, но не много след това. Поради тази причина ще обясним какво е заплитане в този раздел. Надявам се, че вие ​​сте ученият да разбиете тайната.

Помислете за суперпозицията на 2-кубити.

където | 10> означава, че две частици са съответно в спин надолу и нагоре.

Помислете следното съставно състояние:

Можем ли да разделим съставното състояние обратно на две отделни състояния като,

Не можем, защото изисква:

Квантовата механика демонстрира една неинтуитивна концепция. В класическата механика считаме, че разбирането на цялата система може да стане, като се разберат добре всички подкомпоненти. Но в квантовата механика,

Както е показано по-горе, можем да моделираме съставното състояние и да правим прогнози за измервания перфектно.

Но не можем да го опишем или разберем като два независими компонента.

Представям си този сценарий, когато двойка се омъжи за 50 години. Те винаги ще се споразумеят какво да правят, но не можете да намерите отговорите, когато се отнасят към тях като отделни лица. Това е прекалено опростен сценарий. Има много възможни състояния на заплитане

и ще бъде много по-трудно да ги опиша, когато броят на кубитите се увеличи. Когато извършваме квантови операции, ние знаем как компонентите са свързани (заплетени). Но преди всяко измерване точните стойности остават отворени. Заплитането създава корелации, които са далеч по-богати и вероятно много по-трудни за класическия алгоритъм да имитират ефективно.

Следващия

Сега знаем как да манипулираме кубитите с унитарни операции. Но за тези, които се интересуват от квантовите алгоритми, първо трябва да знаем какво е ограничението. В противен случай може да пренебрегнете какви са нещата в квантовите изчисления. Но за тези, които искат да знаят повече за квантовата порта първо, можете да прочетете втората статия преди първата.